Vale la pena recordar que el producto cruz entre 2 vectores se realiza a través del valor del determinante.
para mayor comprensión véase los siguientes vídeos: VÍDEO CONCEPTO
MOMENTOS O TORQUES EN 3D
El momento o torque generado por una fuerza que tiene componentes i, j, k; se calcula como el producto cruz de el vector que tiene como origen el punto de rotación y como llegada el punto de aplicación de la fuerza o cualquier punto sobre la linea de acción de la fuerza
MOMENTOS O TORQUES EN 2D
Se llama momento o torque a la rotación producida por una fuerza al ser aplicada a un objeto el cual tiene la posibilidad de rotar respecto a un punto. Véase en la siguiente figura:
Cuando se trata de un conjunto en el cual el objeto esta en el mismo plano de la fuerza y los dos forman angulo de 90 grados, el momento se puede calcular como el producto de la fuerza por la distancia desde la fuerza hasta el punto de rotación.
Si la fuerza y el elemento están en el mismo plano, pero la fuerza NO forma angulo de 90 grados con respecto al eje del elemento, véase la siguiente figura:
Ahora si el objeto gira en el sentido que muestra la flecha curva entonces el valor de Mo se considera negativo (sentido horario), en caso contrario (anti-horario) se considera Mo positivo. Véase en el siguiente:VÍDEO 1
Si existen varias fuerzas aplicadas sobre el elemento entonces el momento o torque resultante es la suma algebraica(Teniendo en cuenta los signos de la rotación)de cada torque generado por cada fuerza:
Véase los siguientes vídeos: VÍDEO 2
VÍDEO 3
VÍDEO 4
VÍDEO 5
Otra forma de calcular el momento o torque es a través del producto cruz ya que M= r X f véase en los siguientes vídeos:
VÍDEO 6
VÍDEO 7
Cuando se trata de un conjunto en el cual el objeto esta en el mismo plano de la fuerza y los dos forman angulo de 90 grados, el momento se puede calcular como el producto de la fuerza por la distancia desde la fuerza hasta el punto de rotación.
Si la fuerza y el elemento están en el mismo plano, pero la fuerza NO forma angulo de 90 grados con respecto al eje del elemento, véase la siguiente figura:
Entonces, lo mas conveniente es descomponer la fuerza en 2 componentes, una a lo largo del eje del elemento y la otra perpendicular al eje; para este caso el momento se calcula como el valor de la componente perpendicular (Fy) al eje por la distancia (24in).
Ahora si el objeto gira en el sentido que muestra la flecha curva entonces el valor de Mo se considera negativo (sentido horario), en caso contrario (anti-horario) se considera Mo positivo. Véase en el siguiente:VÍDEO 1
Si existen varias fuerzas aplicadas sobre el elemento entonces el momento o torque resultante es la suma algebraica(Teniendo en cuenta los signos de la rotación)de cada torque generado por cada fuerza:
Véase los siguientes vídeos: VÍDEO 2
VÍDEO 4
VÍDEO 5
Otra forma de calcular el momento o torque es a través del producto cruz ya que M= r X f véase en los siguientes vídeos:
VÍDEO 6
VÍDEO 7
EQUILIBRIO DE PARTICULA EN 3D
La segunda ley de Newton plantea que para un cuerpo en movimiento se cumple que:
Sin embargo si el cuerpo esta en reposo o se mueve con velocidad CONSTANTE, entonces la aceleración es cero y la ecuación se transforma en:
Sin embargo si el cuerpo esta en reposo o se mueve con velocidad CONSTANTE, entonces la aceleración es cero y la ecuación se transforma en:
Ahora bien, si las dimensiones del cuerpo son muy pequeñas comparadas con su recorrido o con las dimensiones de otros elementos que interactuan con esté, entonces al cuerpo se considera una partícula y se sigue cumpliendo la ecuación.
Cuando el elemento esta ubicado espacialmente entonces se analiza el equilibrio por ejes, esto es:
Cuando el elemento esta ubicado espacialmente entonces se analiza el equilibrio por ejes, esto es:
EQUILIBRIO DE PARTÍCULA 2D
La segunda ley de Newton plantea que para un cuerpo en movimiento se cumple que:
Sin embargo si el cuerpo esta en reposo o se mueve con velocidad CONSTANTE, entonces la aceleración es cero y la ecuación se transforma en:
Sin embargo si el cuerpo esta en reposo o se mueve con velocidad CONSTANTE, entonces la aceleración es cero y la ecuación se transforma en:
Ahora bien, si las dimensiones del cuerpo son muy pequeñas comparadas con su recorrido o con las dimensiones de otros elementos que interactuan con esté, entonces al cuerpo se considera una partícula y se sigue cumpliendo la ecuación.
Cuando el elemento pude ser ubicado en un plano, entonces se analiza el equilibrio por ejes, esto es:
De esta manera se analizan ejercicios como los presentados en los siguientes vídeos:
VÍDEO 1
VÍDEO 2
VÍDEO 3
VÍDEO 4 Ejemplo hecho por COMPONENTES de fuerzas
Cuando el elemento pude ser ubicado en un plano, entonces se analiza el equilibrio por ejes, esto es:
VÍDEO 5 Ejemplo hecho por POLÍGONO de fuerzas
PRODUCTO CRUZ ENTRE VECTORES
PRODUCTO PUNTO DE VECTORES
PRODUCTO PUNTO ENTRE VECTORES
Existen tres productos vectoriales que son: escalar por vector, producto punto entre vectores y producto cruz entre vectores.PRODUCTO ESCALAR POR VECTOR: Este producto consiste en multiplicar un numero real por un vector, se realiza multiplicando el numero (escalar) por cada uno de los valores de las componentes del vector Ej: 2* (4i-3j+5k) y el resultado es el vector 2i-6j+10k. Cuando se multiplica un escalar por un vector, pueden salir afectados la magnitud del vector, y el sentido del vector mas nunca se afecta la dirección del vector. Véase la siguiente figura:
PRODUCTO PUNTO ENTRE VECTORES
Al realizar el producto punto entre dos vectores se obtiene como resultado un numero real (escalar), para ello se realiza la multiplicación numérica (teniendo en cuenta las reglas de producto de signos) de las componentes (i con i, j con j, k con k). Para mayor comprensión observesé el siguiente: VIDEO
Una aplicación sencilla para el producto punto consiste en hallar el Ángulo entre dos vectores, véase en el siguiente: VIDEO
SUMA DE VECTORES EN 3D
SUMA Y RESTA DE VECTORES EN 3D:
Con los vectores en 3D se pueden realizar operaciones de Suma , resta, y los tres productos (escalar-vector, Punto y Cruz). Para realizar la Suma y Resta de vectores se recurre a expresar cada vector en sus componentes cartesianas (i,j,k) y a continuación se suman o restan (según la operación a realizar) los coeficientes de cada componente. (todos los i, todos los j, todos los k). para mayor comprensión en el método véase los siguientes vídeos:VIDEO 1
VIDEO 2
VECTOR UNITARIO -- VECTOR ENTRE DOS PUNTOS EN EL ESPACIO
VECTORES UNITARIOS:
Cuando se habla de vector unitario se debe tener en cuenta que siempre su magnitud es 1, y que un vector unitario es aquel que contiene la información de la dirección de cualquier vector. ademas sirve para hallar un vector paralelo a otro vector y obviamente para establecer los ángulos entre un vector y cada uno de los ejes coordenados (x,y,z),(véase la figura).
Las ecuaciones mostradas en el gráfico, permiten hallar los ángulos del vector con respecto a los ejes coordenados conocidas las tres componentes; todo lo anterior se muestra en el siguiente VIDEO:
CONSTRUCCIÓN DE UN VECTOR ENTRE 2 PUNTOS EN EL ESPACIO.
Cuando se tienen dos puntos en el espacio, es posible construir 2 vectores (los posibles vectores son de igual magnitud, igual dirección, y sentidos contrarios) entre este par de puntos. El procedimiento consiste en hacer la diferencia entre las componentes rectangulares de los puntos y cada diferencia multiplicarla por los vectores unitario i (la de x), j (la de y), k (la de z. observese la figura:
ANGULOS Y COMPONENTES DE VECTORES EN 3D
Un vector en el espacio requiere del uso de tres componentes, una por cada uno de los ejes ordenados (x,y,z) las cuales se pueden hallar de la siguiente manera:
Conocido el angulo entre el eje Y y el vector F (Teta sub y) y también el angulo entre un plano vertical el cual debe contener al vector F y el eje x (fi)
Por trigonometría se hallan las componentes Fy y Fk
Con la componente Fk y el angulo (fi) se calcula por trigonometría las componentes Fx y Fz
Y esta es una de las manera de determinar las componentes de un vector en 3D
Para mejor comprensión véase el siguiente VÍDEO
Sin embargo no siempre es posible conocer los anteriores ángulos, en ocasiones se conocen los ángulos que forma el vector con cada uno de los ejes tal como se muestra en la siguiente figura:
VÍDEO EXPLICATIVO
En el siguiente ejercicio se muestra como hallar las componentes y los ángulos Teta(x), Teta(y), Teta(z):
( VÍDEO EXPLICATIVO)
Uno de los casos mas complicados consiste en hallar un angulo faltante y para esto es necesario hacer uso de la siguiente identidad:
VÍDEO EXPLICATIVO
Conocido el angulo entre el eje Y y el vector F (Teta sub y) y también el angulo entre un plano vertical el cual debe contener al vector F y el eje x (fi)
Por trigonometría se hallan las componentes Fy y Fk
Con la componente Fk y el angulo (fi) se calcula por trigonometría las componentes Fx y Fz
Y esta es una de las manera de determinar las componentes de un vector en 3D
Para mejor comprensión véase el siguiente VÍDEO
,Sin embargo no siempre es posible conocer los anteriores ángulos, en ocasiones se conocen los ángulos que forma el vector con cada uno de los ejes tal como se muestra en la siguiente figura:
En el siguiente ejercicio se muestra como hallar las componentes y los ángulos Teta(x), Teta(y), Teta(z):
( VÍDEO EXPLICATIVO)
Uno de los casos mas complicados consiste en hallar un angulo faltante y para esto es necesario hacer uso de la siguiente identidad:
VÍDEO EXPLICATIVO
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO PARA REALIZAR LA SUMA DE VECTORES
Un método bastante rápido y mucho mas exacto que el método de la componentes para sumar vectores es el método del PARALELOGRAMO
El método del PARALELOGRAMO consiste en colocar los vectores a sumar en el mismo origen (cola con cola) a continuación se forma un paralelogramo copiando cada vector en la cabeza del otro vector, el vector resultante es el vector que va desde LA COLA DE AMBOS VECTORES HASTA LAS CABEZAS DE LOS DOS VECTORES; este método es especialmente útil para dos vectores. Para el caso de tres vectores se deben escoger dos, hallar la resultante de los dos vectores escogidos y a continuación sumarla que el que no se haya escogido.
Cuando se utiliza el método del paralelogramo es necesario tener en cuenta los ángulos que se forman (alternos internos) y además se debe aplicar el hecho de que la suma de los ángulos internos de un paralelogramo es 360 grados, al igual que la suma de los ángulos internos de un triangulo es 180 grados.
Para mayor comprensión del método se pueden observar los siguientes vídeos:
VIDEO 1
VÍDEO 2
VÍDEO 3
El método del PARALELOGRAMO consiste en colocar los vectores a sumar en el mismo origen (cola con cola) a continuación se forma un paralelogramo copiando cada vector en la cabeza del otro vector, el vector resultante es el vector que va desde LA COLA DE AMBOS VECTORES HASTA LAS CABEZAS DE LOS DOS VECTORES; este método es especialmente útil para dos vectores. Para el caso de tres vectores se deben escoger dos, hallar la resultante de los dos vectores escogidos y a continuación sumarla que el que no se haya escogido.
Para mayor comprensión del método se pueden observar los siguientes vídeos:
VIDEO 1
VÍDEO 2
VÍDEO 3
SUMA DE VECTORES A TRAVÉS DEL MÉTODO DE LAS COMPONENTES
Uno de los métodos mas comunes y sencillos para sumar vectores es a través del método de las componentes y para esto se realiza el siguiente procedimiento:
1. Se toma cada vector y se descompone en sus componentes rectangulares X y Y
2. Se halla el valor del vector resultante en x (Rx) y el valor del vector resultante en y (Ry), tal como se muestra en la ecuación anterior y en la figura siguiente:
1. Se toma cada vector y se descompone en sus componentes rectangulares X y Y
3. Se halla el vector resultante a través de componer los vectores Rx con Ry
Para mayor comprensión y profundización del tema es recomendable ver el siguiente vídeo:
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